原反补码

复习

第三章：了解了计算机使用二进制（0 和 1）表示所有数据
第四章：基本逻辑门（与或非三门）是计算机处理二进制信号的基本单元
第五章：由基础逻辑门（与或非三门）搭建了更复杂的逻辑门：异或门，同或门，多路选择器
第六章：设计完成了半加器，可以完成两个一位二进制数的加法，但不能处理来自低位的进位
第七章：设计完成了加法器，可以处理三个输入（两个加数和一个进位），并可以串联构成多位加法器

TL;DR

规定二进制数最高位（最左边的位）为符号位，1 为负数，0 为正数，可以得到原码。
原码：最高位表示符号，其余位表示数值的绝对值
反码：正数的反码是其本身，负数的反码是原码除符号位外按位取反
利用 相反数相加等于零 可以推导出补码
补码：正数的补码是其本身，负数的补码是反码加 1

正文

引言

　　加法可以计算了，减法怎么办？5 - 2 = ?

　　变化一下，似乎可以发现： 减去一个数，等于加上一个负数。 也即 5 - 2 = 5 + (-2)，效果一样。但这个想法已经向前迈进了一大步—— 不用专门制造减法器，可以复用加法器，只需表达负数即可。

　　现在问题来到：负数在计算机中该怎么表示？

有符号数

　　根据引言，现在需要表示负数。这里不得不引入有符号数的概念。

　　先前所有二进制表示，均默认没有符号，从 0000 表示 0 开始，到 1111 表示 15 结束，都是默认正数，然后开始一个个加，没有负数的余地。

　　为了解决这个问题，人们专门抽出最高位（最左位）表示符号，0 为正数，1 为负数。其余位为数值位，和原来一样。

0001 表示 1，1001 表示 -1，0111 表示 7，1111 表示 -7

　　需要说明的是，这里不一定需要抽出最高位，抽哪一位都可以，抽出最高位只是一种约定俗成的惯例。而且抽出最高位，在后续的电路设计中方便一点。

　　这种只带符号位的二进制码，叫做原码。

原码的问题

　　原码有诸多问题：

0 占据了两个编码 0000 和 1000，但数学没有正负零一说；
不能直接参与计算。
- 0010 + 1001 = 1011，换成十进制就是 2 + (-1) = (-3)，但这很明显错了；
- 1010 + 0001 = 1011，两个加数与上面调换符号位，十进制 (-2) + 1 = (-3)，很明显也错了。

　　不能做减法，计算机就残废了。我们需要一种 能直接参与计算的有符号数编码。

补码

　　没有头绪没关系，我们试着来推导。

首先，最简单的：2 + (-2) = 0。应该满足相反数相加为零。
其次，二进制，只能用 0 或 1 表示。
再次，满足符号位约定：1XXX 为负数，0XXX 为正数。
根据以上可以导出：0010 + ? = 0000。

　　现在思考 ? 应该填一个怎样的二进制数。这个问题看起来没有解……不过……我们可以试着想一些邪门方法。

　　我们可以再加上一个 0010，然后把右起第二位进位，进位之后即为 0。然后现在变成 0100，只是又向左推了一位。

　　如果一直往左推呢？加到 4 位溢出成 5 位，然后第五位我们直接丢弃——似乎可以变成 0。

即：0010 + ? = 0000
推出：0010 + ? = (1)0000
推出：? = (1)0000 - 0010 = 1110。
对于这个例子，-2₁₀ = 1110₂。刚好符合符号位的约定。
右下角的 10 和 2 表示十进制和二进制。

　　而对于这个推式，有一个更简单的做法： 刚好加到溢出，只需要每位取反，然后再 + 1 即可。 对于 0010 而言：0010 每位取反为 1101，然后 + 1（也即加上 0001），就可以持续进位，直到溢出。

符号	数值
	`0010`
+	`1101`
=	`1111`
+	`0001`
=	(1)`0000`

　　所以　负数(?)　=　正数(0010)　取反(1101)　加一(1110)。

　　通过观察发现，这个规律直到 1000 结束—— 1000 根据上述规则计算出来，负数为自身 1000，再往上 1001, 1010……计算出来的结果 0111, 0110……跟之前的正数编码相同，不能使用。

　　也即，从 0111 的中间 1000 为边界线，两边的数互补，相加结果为 1111。用图表示，大概是这种感觉：

因为这个编码本身就是从算式（2 + (-2) = 0）中推导出来的， 可以直接参与计算 ，叫做补码。
- 正数的补码是自身——补码本身就是从相反数的编码中推导出来的。

思考题 1

　　有什么便捷方法，能快速计算出补码吗？

反码

最高位为符号位，其他位为数值位的有符号数编码，叫做原码。
- 例子：2₁₀ = 0010_{2 进制原码}，-2₁₀ = 1010_{2 进制原码}
原码取反 的编码，叫做反码。反码本质上是求补码的中间编码，而正数不需要求补，所以正数的反码是其自身。最高位也是符号位。
- 例子：2₁₀ = 0010_{2 进制反码}，-2₁₀ = 1101_{2 进制反码}
原反码不能直接相加 ，例子：5₁₀ + (-2₁₀) = 0101₂ + 1101_{2 进制反码} = (1)0010₂ = 2₁₀ != 3₁₀(0011₂)。
- != 为不等于
- 本质上是因为有正零（0000）和负零（1000）的存在，一个零占了两个编码。
- 原码和原码，原码和反码，反码和反码之间，均不能直接相加。

思考题 2

　　为什么 1000_{2 进制补码} 是 -8₁₀？

补码的优点

　　补码有几个重要的优点：

统一了加减法运算
- 减法可以转换为加上一个负数
- 负数可以用补码表示
- 所以只需要加法器就可以完成减法
避免了正负零的问题
- 原码中 +0 是 0000 0000，-0 是 1000 0000
- 补码中 +0 和 -0 都是 0000 0000
简化了硬件设计
- 不需要专门的减法电路
- 可以复用加法器

思考题 3

　　如果 8 位补码的最小值是 1000 0000（-128），最大值是 0111 1111（+127），那么：

-128 的原码是多少？

-128 的反码是多少？

-128 + 1 的结果是多少？为什么？

小结

知识点

原码
- 最高位（最左）为符号位，其余位为数值位
反码
- 正数反码为自身，负数按位取反
补码
- 反码加一
正数
- 原码，反码，补码，均相同
负数
- 原码，反码，补码，均不相同
减法器的构成
一个二进制码，现在如果要翻译成十进制，首先得问它有没有符号
补码的优点：统一加减法，避免正负零，简化硬件

例子：找 -6 的补码表示，先找 6 的二进制码（原码）——0110。然后根据上面的规律，可直接得出 1010。
原因：
- 1 取反，为 0，再加一，最终结果仍然为 1；
- 0 取反，为 1，再加一，最终结果仍然为 0，但此过程有进位产生；
- 所以，原码 0A00 的求补过程中，若 A 为 0，低位势必会一直发生进位，直到有一个 1 处停止，所以找到最右边的 1 即可。
  - 从此位截断，因为不发生进位，所以左边按位取反（只发生取反），该位及右边保持不变（发生取反和加一）

思考题 2

最重要的一点，如果不让 1000_{2 进制补码} 为 -8₁₀，则运算会发生错误。
所以也人为规定了这点。
本质上，求负数的编码运用了数学上 模 的概念。
- 如时钟，模 为 12，一旦到达 12 立即回归原点，所以 12 也是 0。
- 上述加到溢出的做法，也即除模，而在 4 位有符号二进制码中，除去最高位符号位，只能表示 2³=8 个数，所以 模 为 8。
- 故人为规定：“正零”（0000）为 0，“负零”（1000）为 -8。
  - 若规定 “负零”（1000）为 8，则：
  - 0~8 会有 9 个数，而 -1~-7 只有 7 个数，严重不对称，并且运算会发生错误。