减法器

复习

1. 第四章：基本逻辑门（与或非三门）是计算机处理二进制信号的基本单元
2. 第五章：由基础逻辑门（与或非三门）搭建了更复杂的逻辑门：异或门，同或门，多路选择器
3. 第六章：设计完成了半加器，可以完成两个一位二进制数的加法，但不能处理来自低位的进位
4. 第七章：设计完成了加法器，可以处理三个输入（两个加数和一个进位），并可以串联构成多位加法器
5. 第八章：掌握了原码、反码和补码的概念，理解了补码可以统一加减法运算

TL;DR

• 减法可以转换为加上一个负数
• 负数用补码表示，可以直接参与加法运算
• 减法器实际上就是加法器，只是参加运算的数字需要先转换成补码

正文

引言

　　回顾一下，减法可以转换为加上一个负数： A - B = A + (-B)

　　而负数在计算机中用补码表示。所以减法的步骤是：

1. 将参加运算的数字转换为补码（负数需要求补，而因为正数补码为自身，维持原样即可）
2. 用加法器进行加法运算

具体实现

　　以 4 位二进制数为例，计算 5 - 3：

1. 首先，将 -3 转换为补码（5 为正数，补码为自身）：

   • 3 的原码：0011
   • 按位取反：1100（反码）
   • 加 1：1101（补码）

2. 然后，用加法器计算 5 + (-3)：

     0101  (+5)
   + 1101  (-3 的补码)
   -------
     0010  (+2)
   

　　结果正确——可以用加法器来完成减法运算。

减法器的构成

　　从上面的分析可以看出，减法器需要以下部件：

1. 取反器：对被减数进行按位取反

• 可以用非门实现

2. 加一电路：在取反后加 1

• 可以用半加器或加法器（Cin 永远置为 0）实现

3. 加法器：进行最终的加法运算

   • 直接使用之前设计的加法器

   或者我们也可以说： 减法在二进制计算机里的定义是，加上 减数取反后的数值，再加一。

　　这些部件组合在一起，就构成了完整的减法器。

思考题 1

　　可能有细心的读者发现了：A - B，只有 B 经过了求补模块，如果 A 也是负数，需要经过求补模块吗？更进一步，既然 A 和 B 都是补码了，那 对一个数的补码再求补码，等于该数的原码吗？

更复杂的例子

　　来看一个更复杂的例子，计算 7 - 12：

1. 将 -12 转换为补码（4 位二进制不够，需要扩展到 8 位）：

   • 12 的原码：0000 1100
   • 按位取反：1111 0011（反码）
   • 加 1：1111 0100（补码）

2. 用加法器计算 7 + (-12)：

     0000 0111  (+7)
   + 1111 0100  (-12 的补码)
   ------------
     1111 1011  (-5 的补码)
   

　　结果是补码形式的 -5，如果需要转换回十进制：

• 减去 1：1111 1010（反码）
• 除符号位按位取反：1000 0101（原码）
• 符号位为 1，所以是负数：-5

思考题 2

　　如果计算 -128 - 1 会发生什么？

其他减法器思路

　　回想一下，半加器和加法器怎样制造的？先画出真值表，再观察能用什么逻辑门实现效果。其实减法器也可以这么做。

　　下面是半减器的真值表。

• 默认为 A - B
• 输出 B out 意为 Borrow out，借位的输出
• 输出 D 意为 Difference，差值
• 如果 B out 为 1，肯定意味着不够减，结果为负

　　当然我们也可以画成下面这样，不使用异或门，只使用与门和或门。

　　但是这个图很容易就把人看晕了，跟上面的图一比较，完全不如上图清晰明了。使用异或门还可以跟真值表形成明显的对照。

　　在计算机科学里，没有什么问题是加一层解决不了的 。该抽象简化的时候，就应该抽象和简化。

　　下面是全减器的真值表。

• 默认为 A - B
• 输入 B in 与上同理
• 输出 D 意为 Difference，差值
• 这个可能有些复杂，给出化简后的表达式，然后拼接逻辑门
  • D = A ⊕ B ⊕ Bin（⊕为异或的数学符号）
  • Bout = AB + ABin + BBin

小结

知识点

• 减法转换为加法的原理
• 减法器的基本构成
• 补码在减法中的应用

参考资料

1. Wikipedia(zh)：算术溢出：溢出的详细介绍
2. Wikipedia(zh)：补码：补码的详细介绍

思考题答案（仅供参考）

思考题 1

　　我们在谈论补码的时候，有两种性质一样的说法：

1. 减法在二进制计算机里的定义是：加上 减数取反后的数值，再加一。
2. 减去一个数，等于加上这个数的相反数。

　　所以为什么 A - B 中被减数 A 不需要经过求补模块，也可以用这两种说法对应解答：

1. 因为 A 和 B 本身就是补码，而只有减数 B 前面有减号，所以只需要让 B 求补，同理，如果形式变成 - A - B，则需要让 A 和 B 同时求补（虽说变成 -(A + B) 会更简单一些）。
2. 减去 B 也等于加上 B 的相反数。而之前说过，补码是从相反数相加等于零推导出来的，所以，减去 B 也等于加上 (0 - B)，也就等于求 B 的相反数，也就是直接求补。

　　回想一下，补码究竟是怎样推导出来的——相反数相加为零。所以，对一个数的补码再求补码，其实就是对一个数的相反数再求相反数，其结果必然等于自身。

　　二进制中，特殊在于：

• 减法的定义为：加上 该数取反后的数值，再加一
• 负数的定义为：该数取反后的数值，再加一

　　这两种说法本质上是相同的：- X，可以是 X 的负数，也可以是 0 减去 X。 有趣的地方在于：

• 如果我们将 X 按照定义进行两次求补，也即 ~(~X + 1) + 1，它并不等于 X + ~1 + 1

思考题 2

　　计算 -128 - 1：

1. -128 的补码：1000 0000
2. -1 的补码：1111 1111
3. 相加结果：(1)0111 1111
   • 最高位的进位被丢弃
   • 结果是 0111 1111，表示 +127
   • 这就是溢出（Overflow）
   • 在 8 位补码系统中，-128 是最小值，再减就会溢出到最大值 +127

推荐

• Bilibili：计算机怎样计算减法

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设计师 | 南国微雪