减法器
复习
- 全加器：全加器能处理低位进位，可串联构成多位加法器
- 有符号数与原码：原码用符号位表示正负；反码需要回卷进位参与运算，且仍有两个零
- 补码：补码是反码加 1，能统一加减法且只有一个零
TL;DR
A - B就是A + (-B)，减去一个数，等于加上它的相反数- 让 B 按位取反，再把最低位进位设为 1，加法器就能完成减法
- 一根控制线，就能让同一套电路在加法和减法之间来回切换
正文
我们已经绕了两章的远路，先去认识负数，又折腾出补码。现在终于可以回过头，回答当初那个问题：加法器到底能不能做减法？
先别急着另造一套减法电路。回忆上一章的结论：5 - 2 和 5 + (-2) 其实是一回事。而在补码里，-2 已经被表示成 1110。那就不妨直接把两个数交给加法器试试：
0101 (+5)
+ 1110 (-2)
------
1 0011
4 位机器只保留低 4 位，结果是 0011，也就是 3。原来的加法器一根线都不用改，减法已经算出来了。
所以，减法器并不需要从头另造，它只是加法器的一种用法。 前面花两章理解补码，回报就在这里。
把“先变负数”也交给电路
不过，现在还留着一个尾巴：得由人先把 2 改写成 -2 的补码，也就是“按位取反再加 1”。这活儿机器理应自己干。
我们先做两件小事，再让它们合体：
- 取反：把 B 的每一位反过来。异或门正好能充当一个“受控制的取反器”——
B XOR 0 = B，B XOR 1 = NOT B。- 忘记了异或门？请返回《常见复杂逻辑门》
- 加一：加法器本来就有一个最低位进位输入，把它设成 1，就等于加一。
于是给电路加一根控制线，叫作 SUB：
SUB = 0：做加法。B 原样进入加法器，最低位进位也是 0。SUB = 1：做减法。B 的每一位与 1 异或，从而取反；最低位进位设为 1。
这样，真正送进加法器的其实是：
A + (B XOR SUB) + SUB
代进去看看：SUB = 0 时，它是 A + B；SUB = 1 时，它是 A + NOT B + 1，也就是 A + (-B)，也就是 A - B。
一根控制线，就让同一台机器学会了两种运算。比起另造一整套减法电路，这省事得多。
举个例子
令 A = 0110（6），B = 0011（3），来算一次减法：
SUB = 1，所以 B 先按位取反：0011 → 1100- 最低位进位也设为 1
- 加法器计算
0110 + 1100 + 1 = 1 0011
丢掉最高位，得到 0011，也就是 3。6 - 3 = 3，正确。要是把 SUB 拨回 0，同一套电路立刻又变回加法器。
思考题 1
在 4 位电路中，若
A = 0110、B = 0011，做减法时真正送进加法器的第二个数和最低位进位分别是什么？结果是多少？
最高位进位
你大概已经注意到那个被丢掉的最高位进位。它只是这次加法器额外产生的一位，并不自动等于“溢出“：6 - 3 的结果 0011 明明装得下，仍然会产生它。
对无符号减法，这一位可以用来判断有没有借位；对有符号数，是否溢出要另看符号位。后面我们会给这些情况各自装上一盏指示灯，就是 ALU 的状态标识。
把运算装进一个盒子
现在，机器会加，也会减。更早造出的与门、或门、异或门还能完成逻辑运算，但它们仍然散落在桌面上。每换一种运算就重新接线，显然还不够像一台真正的计算机。
下一章，我们把这些常用运算统统装进同一个盒子，再用控制信号决定这一次到底算哪一种。
思考题 2
减法器复用了加法器。如果反过来，让你只用减法器去实现加法，可行吗？大概要怎么做？
小结
知识点
- 减法可以转化为补码加法
- 异或门可以受控制地决定是否取反
- 加减法器的统一表达式是
A + (B XOR SUB) + SUB - 超出位宽的进位就是溢出，含义随无符号／有符号而定
参考资料
- Wikipedia(zh)：补码：用补码把减法转化为加法
- Wikipedia(zh)：加法器：加法器的结构与进位
思考题答案（仅供参考）
思考题 1
SUB = 1，所以 B 先按位取反为 1100。送进加法器的第二个数实际上就是这个 1100。最低位进位因为等于 SUB，所以进位为 1。所以加法器计算的实际上是 0110 + 1100 + 1 = 1 0011，丢掉最高位后得到 0011，即 3。
思考题 2
可行。加法和减法本就靠 SUB 这根线切换，把逻辑反过来即可：默认 SUB = 1（做减法），需要加法时再把它拨到 0。本质上加减是同一个电路的两面，并没有谁更“基础”。谁作为默认，只是设计上的方便问题。
协议
本作品采用知识共享署名-非商业性使用-相同方式共享 4.0 国际许可协议进行许可。
封面图
设计师 | 南国微雪