第四章：负数与减法

复习

• 第一章：希望造出一台计算机。
• 第二章：这台计算机需要供能，输入，输出和处理过程。
• 第三章：利用电能和布尔代数，造出了一个加法器。

TL;DR

• 规定二进制数最高位为符号位，1 为负数，0 为正数，可以得到原码。
• 利用 相反数相加等于零 可以推导出补码。
• 减去一个数，等于加上这个数的相反数，根据此定理可以诱骗加法器做减法，得到减法器。

正文

引子

　　加法可以计算了，减法怎么办？5 - 2 = ?

　　变化一下，似乎可以发现： 减去一个数，等于加上一个负数。 也即 5 - 2 = 5 + (-2)，效果一样。但这个想法已经向前迈进了一大步—— 不用专门制造减法器，可以复用加法器，只需表达负数即可。

　　现在问题来到： 负数在计算机中该怎么表示 ？

有符号数

　　根据引子，现在需要表示负数。这里不得不引入有符号数的概念。

　　先前所有二进制表示，均默认没有符号，从 0000 表示 0 开始，到 1111 表示 15 结束，都是默认正数，然后开始一个个加，没有负数的余地。

　　为了解决这个问题，人们专门抽出最高位（最左位）表示符号，0 为正数，1 为负数。其余位为数值位，和原来一样。

• 0001 表示 1，1001 表示 -1，0111 表示 7，1111 表示 -7

　　需要说明的是，这里不一定需要抽出最高位，抽哪一位都可以，抽出最高位只是一种约定俗成的惯例。而且抽出最高位，在后续的电路设计中方便一点。

　　这种只带符号位的二进制码，叫做 原码。

原码的问题

　　原码有诸多问题：

• 0 占据了两个编码 0000 和 1000，但数学没有正负零一说；
• 不能直接参与计算。
  • 0010 + 1001 = 1011，换成十进制就是 2 + (-1) = (-3)，但这很明显错了；
  • 1010 + 0001 = 1011，两个加数与上面调换符号位，十进制 (-2) + 1 = (-3)，很明显也错了。

　　不能做减法，计算机就残废了。我们需要一种 能直接参与计算的 有符号数编码。

补码

　　没有头绪没关系，我们试着来推导。

• 首先，最简单的：2 + (-2) = 0。应该满足相反数相加为零。
• 其次，二进制，只能用 0 或 1 表示。
• 再次，满足符号位约定：1XXX 为负数，0XXX 为正数。
• 根据以上可以导出：0010 + ? = 0000。

　　现在思考 ? 应该填一个怎样的二进制数。这个问题看起来没有解。右起第二位的 1 怎么可能又变回 0……

　　等下，似乎不是不可以—— 我们可以再加上一个 0010，然后把右起第二位进位，进位之后即为 0。 然后现在变成 0100，只是又向左推了一位。

　　但如果一直往左推呢？加到 4 位溢出成 5 位，然后第五位我们直接丢弃——似乎可以变成 0。

• 即：0010 + ? = 0000
• 推出：0010 + ? = (1)0000
• 推出：? = (1)0000 - 0010 = 1110。
• 对于这个例子，-2₁₀ = 1110₂。刚好符合符号位的约定。
• 右下角的 10 和 2 表示十进制和二进制。

　　而对于这个推式，有一个更简单的做法： 刚好加到溢出，只需要每位取反，然后再 + 1 即可。 对于 0010 而言：0010 每位取反为 1101，然后 + 1（也即加上 0001），就可以持续进位，直到溢出。

　　所以　负数(?)　=　正数(0010)　取反(1101)　加一(1110)。

　　通过观察发现，这个规律直到 1000 结束—— 1000 根据上述规则计算出来，负数为自身 1000，再往上 1001, 1010……计算出来的结果 0111, 0110……跟之前的正数编码相同，不能使用。

　　也即，从 0111 的中间 1000 为边界线，两边的数互补，相加结果为 1111。 用图表示，大概是这种感觉：

• 因为这个编码本身就是从算式（2 + (-2) = 0）中推导出来的， 可以直接参与计算 ，叫做 补码。
  • 正数的补码是自身——补码本身就是从相反数的编码中推导出来的。

思考题 1

　　有什么便捷方法，能快速计算出补码吗？

概念

• 最高位为符号位，其他位为数值位的有符号数编码，叫做 原码 。

  • 例子：2₁₀ = 0010_{2 进制原码}，-2₁₀ = 1010_{2 进制原码}

• 原码取反 的编码，叫做 反码 。反码本质上是求补码的中间编码，而正数不需要求补，所以正数的反码是其自身。最高位也是符号位。

  • 例子：2₁₀ = 0010_{2 进制反码}，-2₁₀ = 1101_{2 进制反码}

• 原反码不能直接相加 ，例子：5₁₀ + (-2₁₀) = 0101₂ + 1101_{2 进制反码} = (1)0010₂ = 2₁₀ != 3₁₀(0011₂)。

  • != 为不等于
  • 本质上是因为有正零（0000）和负零（1000）的存在，一个零占了两个编码。
  • 原码和原码，原码和反码，反码和反码之间，均不能直接相加。

思考题 2

　　为什么 1000_{2 进制补码} 是 -8₁₀？

减法

　　上述可知，减法可以表示为加上负数，而负数又用补码表示：所以将加法器的减数，变成其对应的补码即可。也即 5 - 2 = 5 + 2 的补码。

　　或者我们也可以说： 减法在二进制计算机里的定义是，加上 减数取反后的数值，再加一。

　　而补码又是取反加一，所以输入加法器之前，经过求补模块即可。求补模块 = 取反 + 加一，也可以说是减法模块。取反可以让每位都经过一次 not 门，加一可以放置一个加法器固定加上 1。

　　大概就像这样（图源：BiliBili 硬件茶谈）：

小结

知识点

• 原码
  • 最高位为符号位，其余位为数值位
• 反码
  • 正数反码为自身，负数按位取反
• 补码
  • 反码加一
• 正数
  • 原码，反码，补码，均相同
• 负数
  • 原码，反码，补码，均不相同
• 减法器的构成
• 一个二进制码，现在如果要翻译成十进制，首先得问它有没有符号

参考资料

• Wikipedia(zh)：有符号数
• Bilibili：计算机怎样计算减法

推荐

• Bilibili：计算机怎样计算减法

思考题答案（仅供参考）

思考题 1

　　一个负数的补码：写出该数相反数的二进制码，找到最右边的 1，该位及右边所有位不变，左边按位取反。

• 例子：找 -6 的补码表示，先找 6 的二进制码（原码）——0110。然后根据上面的规律，可直接得出 1010。

• 原因：

  • 1 取反，为 0，再加一，最终结果仍然为 1；
  • 0 取反，为 1，再加一，最终结果仍然为 0，但此过程有进位产生；
  • 所以，原码 0A00 的求补过程中，若 A 为 0，低位势必会一直发生进位，直到有一个 1 处停止，所以找到最右边的 1 即可。
    • 从此位截断，因为不发生进位，所以左边按位取反（只发生取反），该位及右边保持不变（发生取反和加一）

思考题 2

• 最重要的一点，如果不让 1000_{2 进制补码} 为 -8₁₀，则运算会发生错误。
• 所以也人为规定了这点。
• 本质上，求负数的编码运用了数学上 模 的概念。
  • 如时钟，模 为 12，一旦到达 12 立即回归原点，所以 12 也是 0。
  • 上述加到溢出的做法，也即除模，而在 4 位有符号二进制码中，除去最高位符号位，只能表示 2³=8 个数，所以 模 为 8。
  • 故人为规定：“正零”（0000）为 0，“负零”（1000）为 -8。
    • 若规定 “负零”（1000）为 8，则：
    • 0~8 会有 9 个数，而 -1~-7 只有 7 个数，严重不对称，并且运算会发生错误。

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