小数与浮点数

复习

计算机的数据表示：计算机用二进制表示数据，八进制和十六进制是二进制的简写
数据的大小与单位：认识了 bit、Byte 及更大的数据单位，知道 1024 与 1000 的差异
文字与编码：文字靠字符编码表示，ASCII、Unicode 和 UTF-8 解决了编号与存储等系列问题

本章为进阶内容，零基础读者可以跳过，不影响后续阅读。

TL;DR

小数点右边也遵循“逢二进一”，只是位权变成了 1/2、1/4、1/8……
小数点位置固定不动的叫定点数，简单但范围小
浮点数用“科学计数法”的思想：符号 + 阶码 + 尾数，范围大但精度有限
很多十进制小数（比如 0.1）在二进制里是无限循环的，只能近似存储

正文

二进制里的小数

　　前面我们表示的都是整数。小数点右边怎么办？

　　回忆一下位权：十进制里，0.1 表示 1/10，0.01 表示 1/100。二进制也一样，只是底数换成 2：

0.1₂ = 1/2 = 0.5₁₀
0.01₂ = 1/4 = 0.25₁₀
0.11₂ = 1/2 + 1/4 = 0.75₁₀

　　所以二进制小数同样可以“按位权相加”来还原。

二进制小数和十进制小数的小数点右侧位权对照

定点数

　　最简单的小数表示方法，叫 定点数：约定小数点固定在某个位置，小数点前后各占多少位直接定死。

比如约定“高 8 位是整数部分，低 8 位是小数部分”
- 00000001.00000000 就表示 1.0
- 00000000.10000000 就表示 0.5
- 00000000.01000000 就表示 0.25。

　　它简单、快，但缺点非常非常明显：能表示的范围和精度都很有限。想要更大范围，就得多给整数位；想要更精细，就得多给小数位，而总位数是固定的，两边打架。

浮点数：用科学计数法

　　科学家记很大的数或很小的数时，会用科学计数法，比如：1.23 × 10^5

　　它把“数值”拆成三部分：正负号、有效数字（1.23）、指数（5）。这样既能记下 1.23 × 10^5，也能记 1.23 × 10^-5，范围一下大了很多。

　　计算机借用了这个思路，做成 浮点数：小数点不再固定，而是“浮动”的。

符号位：正还是负
阶码：相当于指数，决定小数点的位置
尾数：相当于有效数字，决定精度

　　现代计算机普遍遵循 IEEE 754 标准来分配这几位。具体位数分配属于细节，这里不展开，只要记住“符号 + 阶码 + 尾数”这个结构即可。

定点数与浮点数在表示方法、范围和精度上的对比

精度问题

　　浮点数换来大范围，代价是精度。

　　一个让人抓狂的例子：在大多数编程语言里，

0.1 + 0.2 == 0.3   // 结果是 false！在编程语言里两者不相等！

　　0.1 在二进制里是 无限循环小数（就像十进制的 1/3 = 0.333… 永远写不完）。计算机只能用有限的位去近似它，两个近似值相加，结果就差了那么一点点，不等于精确的 0.3。这里还有个笑话，说以后机器人像人一样有了智能，他们就会问对方 0.1 + 0.2 等于多少，如果对方说是 0.3，那么就是人类，如果说是 0.300000004，那就是机器人。

　　这是“用有限位表示无限小数”的必然结果。 所以，涉及钱、精确数值时，程序员通常改用整数或专门的十进制类型，而不是浮点数。 这件事在会计上特别有发言权，会计经典抓狂场景：算了半天，差 0.01 平不了账。这种时候总不能跟人家说：你的账务其实没错，这是计算机表示的原因。以后谁知道是计算机表示的问题，还是真的差了 0.01 呢？

十进制的 0.1 和 0.2 在二进制中只能近似表示，因此相加未必精确等于 0.3