有符号数与原码
复习
- 第三章：了解了计算机使用二进制（0 和 1）表示所有数据
- 第十一章：设计完成了全加器，并可以串联构成多位加法器
TL;DR
- 加法有了，减法可以转化为“加上一个负数“，关键是怎样表示负数
- 原码：最高位做符号位，其余位是数值的绝对值
- 原码不能直接参与计算，因为符号位和数值位会“打架“
- 反码是第一次补救尝试，但算出来的结果总是差 1
正文
引言
加法可以计算了，减法怎么办？5 - 2 = ?
变化一下，似乎可以发现： 减去一个数，等于加上一个负数。 也即 5 - 2 = 5 + (-2)，效果一样。但这个想法已经向前迈进了一大步—— 不用专门制造减法器，可以复用加法器，只需表达负数即可。
现在问题来到： 负数在计算机中该怎么表示 ？
原码
先前所有二进制表示，都默认没有符号：从 0000 表示 0 开始，到 1111 表示 15 结束，全是正数，没有负数的余地。
为了解决负数问题，人们专门抽出最高位（最左位）表示符号，0 为正数，1 为负数。其余位为数值位，和原来一样。
0001表示1，1001表示-1，0111表示7，1111表示-7
需要说明的是，这里不一定需要抽出最高位，抽哪一位都可以，抽出最高位只是一种约定俗成的惯例，而且在后续的电路设计中方便一点。
这种“符号位 + 数值绝对值“的二进制码，叫作 原码 。
原码的问题
原码直观，但问题很大：
问题一：零有两个编码。
0000表示+0，1000表示-0- 可数学里并没有“正零““负零“之分，一个零占了两个编码，白白浪费。
问题二：不能直接参与计算。
0010+1001=1011，换成十进制就是2 + (-1) = (-3)，明显错了1010+0001=1011，即(-2) + 1 = (-3)，也错了
为什么会错？因为加法器把最高位当成了普通的数值位去进位，可它偏偏是符号位，一进位符号就乱了。
不能直接算，计算机就残废了。我们需要一种 能直接参与计算的有符号数编码 。
第一次尝试：反码
那就先把负数的数值位“反过来“试试：
- 正数的反码：和原码相同
- 负数的反码：符号位保持为 1，数值位按位取反
例子：
210 的原码是0010，反码还是0010-210 的原码是1010，反码是1101（符号位 1 不动，010取反成101）
反码看起来比原码聪明了一点，但它依然不能直接相加。看个例子：
0101 (+5)
+ 1101 (-2 的反码)
-------
(1)0010 = 2，而不是 3
结果是 2，离正确的 3 差了 1。
巧的是，这个“差 1“很稳定：不管怎么算，结果总是差那么 1。既然差的永远只是 1，那事先再补上这 1，不就行了？
这就引出了下一章的主角——补码。
思考题
原码的“符号位“其实也是普通二进制位。加法器在算
0010 + 1001时，它“以为“自己在算什么？为什么会得出1011？
小结
知识点
- 用“加上负数“把减法变成加法
- 有符号数与原码
- 原码的两个毛病：负零、不能直接计算
- 反码：第一次尝试，总是差 1
参考资料
- Wikipedia(zh)：有符号数：有符号数的各种编码
- Bilibili：计算机怎样计算减法
思考题答案（仅供参考）
加法器并不知道最高位是“符号位“，它只把 0010 和 1001 当成两个普通的四位二进制数相加，得到 1011（十进制 11）。如果按有符号数去读，1011 又被解读成 -3。可我们真正想要的是 2 - 1 = 1。问题就出在：符号位参与了普通加法，却没被特殊对待。补码的精妙之处，正是让符号位也能“顺便“参与运算而不出错。
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设计师 | 南国微雪