补码

复习

• 半加器：半加器用异或门算和、与门算进位，完成两个一位二进制数相加
• 全加器：全加器能处理低位进位，可串联构成多位加法器
• 有符号数与原码：原码用符号位表示正负；反码需要回卷进位参与运算，且仍有两个零

TL;DR

• 负数的补码 = 反码 + 1
• 补码可以直接参与加法，正数的补码就是它本身
• 快速求法：从右往左找到第一个 1，该位及右边不变，左边全部取反
• 补码只有唯一的零，是现代计算机表示有符号数的标准

正文

还差的那 1

　　前面讲有符号数时我们发现，反码可以用回卷进位算 5 + (-2)，但产生溢出进位时还要把它加回低位。

　　那么，我们为什么不能在负数的编码里事先加 1 呢？

　　于是，新的编码诞生了。

　　这种新编码干脆在反码里 事先加 1，让加法器把溢出的进位直接丢掉。

　　先用最简单的目标验证：我们希望 2 + (-2) = 0。

　　2 的反码是 0010，让 -2 的反码 1101 再加 1，那么这种新编码中的 -2 应当表示为 1110。

　　现在算 0010 + 1110：

  0010
+ 1110
-------
(1)0000   ← 第 5 位进位溢出，直接丢弃，得到 0000

　　正好是 0。成了。

思考题 1

　　看起来一切都很顺利，但是有一个疑虑我们之前还没消灭：补码解决了正负零的问题了吗？

补码的定义

　　负数的补码 = 反码 + 1。

　　而正数不需要求补，补码就是它自身。

• 2₁₀ 的补码 = 0010
• -2₁₀ 的补码 = 1101 + 0001 = 1110

　　这个编码直接从算式 2 + (-2) = 0 中推导出来，可以直接参与计算，叫作 补码 。

思考题 2

　　请分别写出 -5 的 8 位原码、反码和补码。

快速求补码

　　每次都“取反再加一”有点麻烦。观察一下可以发现一个更快的办法：

要求一个负数的补码，只需要先写出这个负数的相反数（也是它的绝对值），在这个正数的原码表示中，从右往左找到第一个 1，这个 1 以及它右边的位保持不变，左边的位全部取反。

　　例子：求 -6 的补码。

• 先写出 6 的二进制 0110。
• 最右边的 1 在右起第二位，该位及其右边的 0 保持不变，01|10，左边（含符号位）取反，得到 1010。
• 1010 就是 -6 的补码。

　　原因也不难想：

• 正数原码的某一位上如果是 0，那么反码会将它取反变成 1，再加 1 时，就会进位，又变成 0——原来是 0，现在还是 0
  • 所以，从右往左第一个 1 右边的 0 会一路进位
• 而正数原码的某一位上如果是 1，那么反码会将它取反变成 0，再加 1 时，不会 进位，仍然为 1——原来是 1，现在还是 1
  • 而第一个 1 的位置恰好是：一连串 0 变成反码加 1 时进位停止的地方
  • 自这一位起，左边的位因为没有进位了（相当于没有了 + 1），只有 取反 + 1 中的 取反，所以编码会全部反转
• 所以右边的低位不变、左边全部翻转。

思考题 3

　　为什么 1000₂（补码）是 -8₁₀？

一个特殊的数

　　4 位补码一共有 2⁴ = 16 种位模式，所有加法都按模 16 回绕。0000 到 0111 表示 0 到 +7，1000 到 1111 表示 -8 到 -1。1000 是一个特殊值：它表示 -8，而 -8 的相反数 +8 超出了 4 位补码的范围，所以对它再求补，仍会得到 1000。

　　也就是说，以 0111 和 1000 之间为边界，正数和负数分别排在模 16 的两侧。用图表示，大概是这种感觉：

　　所以 4 位补码能表示的范围是 1000（-8）到 0111（+7）。8 位就是 1000 0000（-128）到 0111 1111（+127）。 负数的范围比正数多一个。

思考题 4

　　在 8 位补码里，-128 的原码是什么？-128 + 1 的结果是多少？为什么？

补码的优点

　　补码有几个重要的优点：

1. 统一了加减法运算

   • 减法可以转换为加上一个负数
   • 负数可以用补码表示
   • 所以只需要加法器就可以完成减法

2. 避免了正负零的问题

   • 原码中 +0 是 0000 0000，-0 是 1000 0000
   • 补码中只有一个零：0000 0000

3. 简化了硬件设计

   • 不需要专门的减法电路
   • 可以复用加法器

小结

知识点

• 补码 = 反码加一
• 快速求补码的方法
• 补码的表示范围
• 补码的三个优点

参考资料

1. Wikipedia(zh)：补码：补码的详细介绍
2. Bilibili：计算机怎样计算减法

思考题答案（仅供参考）

思考题 1

　　补码没有正负零。

　　负零的原码 1000 经 取反加 1 计算后，恰好变成了绝对值更大的新负数 -8（1000，补码表示法），从而消除了重复的零并多出一个表达名额。

　　回想一下补码的计算规则，我们试着算一下：

• 负零原码： 1000
• 数值位取反： 1111
• 末位加 1： 1111 + 1 = 10000

　　因为只有 4 位，溢出的最高位会被自动舍弃，结果变成了 0000。

　　最终，正零 0000 和变换后的负零都指向了 0000，零因此只有一个。

　　原本被“负零”占用的 1000 并没有浪费，它被顺理成章地用来多表示一个绝对值更大的最小负数（如 4 位二进制中的 -8）。

思考题 2

• 5 的 8 位原码：0000 0101
• -5 的 8 位原码：1000 0101
• -5 的 8 位反码：1111 1010（符号位不变，数值位取反）
• -5 的 8 位补码：1111 1011（反码加一）

思考题 3

　　4 位补码共有 2⁴ = 16 种位模式，所以加法按模 16 进行。把位模式当作无符号数看，1000 是 8；把它当作 4 位补码看，最高位为 1，因此它表示 8 - 16 = -8。

　　这样解释后，正数是 0 到 +7，负数是 -8 到 -1，刚好用完 16 种位模式。1000 + 1000 的结果是 (1)0000，丢弃溢出进位后得到 0，因此 -8 在这个固定宽度里会求补回自己；它的真正相反数 +8 则无法用 4 位补码表示。

思考题 4

1. -128 没有原码表示（因为正值 128 超出了 8 位能表示的正数范围）
2. -128 + 1 = 1000 0000 + 0000 0001 = 1000 0001（-127）
   • 这就是为什么 8 位补码的范围是 [-128, 127]
   • -128 是一个特殊值，它没有对应的原码表示。

协议

　　本作品采用知识共享署名-非商业性使用-相同方式共享 4.0 国际许可协议进行许可。

封面图

设计师 | 南国微雪