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补码

复习

  1. 第十二章：了解了有符号数和原码，也看到反码的结果总是差 1

TL;DR

  • 负数的补码 = 反码 + 1
  • 补码可以直接参与加法，正数的补码就是它本身
  • 快速求法：从右往左找到第一个 1，该位及右边不变，左边全部取反
  • 补码只有唯一的零，是现代计算机表示有符号数的标准

正文

还差的那 1

　　第十二章里我们发现，用反码算 5 + (-2)，结果是 2，离正确答案 3 差 1。而且这个“差 1“很稳定。

　　既然每次都差 1，那就干脆在负数的编码里事先加 1。

　　先用最简单的目标验证：我们希望 2 + (-2) = 0。2 的反码是 0010，让 -2 的反码 1101 再加 1：

  1101
+ 0001
-------
  1110

　　现在算 0010 + 1110：

  0010
+ 1110
-------
(1)0000   ← 第 5 位进位溢出，直接丢弃，得到 0000

　　正好是 0。成了。

补码的定义

负数的补码 = 反码 + 1

　　而正数不需要求补，补码就是它自身。

  • 210 的补码 = 0010
  • -210 的补码 = 1101 + 0001 = 1110

　　这个编码直接从算式（2 + (-2) = 0）中推导出来，可以直接参与计算，叫作 补码 。

快速求补码

　　每次都“取反再加一“有点麻烦。观察一下可以发现一个更快的办法：

从右往左找到第一个 1，这个 1 以及它右边的位保持不变，左边的位全部取反。

  • 例子：求 -6 的补码。先写出 6 的二进制 0110。最右边的 1 在右起第二位，该位及其右边的 0 保持不变，左边（含符号位）取反，得到 1010。这就是 -6 的补码。

　　原因也不难想：反码加 1 时，从右往左第一个 1 右边的 0 会一路进位；而第一个 1 的位置恰好是进位停止的地方，所以右边的低位不变、左边全部翻转。

一个特殊的数

　　按照上面的规律推到 1000 就停住了：它根据规则算出的是自身 1000。再往上 1001、1010……算出来的结果又会和正数编码撞车。

　　也就是说，以 0111 和 1000 之间为边界，两边的数互补，相加结果为 1111（再进位即 0）。 用图表示，大概是这种感觉：

　　所以 4 位补码能表示的范围是 1000（-8）到 0111（+7）。8 位就是 1000 0000（-128）到 0111 1111（+127）。负数的范围比正数多一个，原因就藏在那个“负零“里。

补码的优点

　　补码有几个重要的优点：

  1. 统一了加减法运算

    • 减法可以转换为加上一个负数
    • 负数可以用补码表示
    • 所以只需要加法器就可以完成减法

  2. 避免了正负零的问题

    • 原码中 +0 是 0000 0000，-0 是 1000 0000
    • 补码中只有一个零：0000 0000

  3. 简化了硬件设计

    • 不需要专门的减法电路
    • 可以复用加法器

思考题 1

　　请分别写出 -5 的 8 位原码、反码和补码。

思考题 2

　　为什么 10002 进制补码 是 -810？

思考题 3

　　在 8 位补码里，-128 的原码是什么？-128 + 1 的结果是多少？为什么？

小结

知识点

  • 补码 = 反码加一
  • 快速求补码的方法
  • 补码的表示范围
  • 补码的三个优点

参考资料

  1. Wikipedia(zh)：补码：补码的详细介绍
  2. Bilibili：计算机怎样计算减法

思考题答案（仅供参考）

思考题 1

  • 5 的 8 位原码：0000 0101
  • -5 的 8 位原码：1000 0101
  • -5 的 8 位反码：1111 1010（符号位不变，数值位取反）
  • -5 的 8 位补码：1111 1011（反码加一）

思考题 2

  • 最重要的一点，如果不让 10002 进制补码 为 -810，则运算会发生错误。
  • 所以也人为规定了这点。
  • 本质上，求负数的编码运用了数学上 模 的概念。
    • 如时钟，模 为 12，一旦到达 12 立即回归原点，所以 12 也是 0。
    • 上述加到溢出的做法，也即取模，而在 4 位有符号二进制码中，除去最高位符号位，只能表示 23=8 个数，所以 模 为 8。
    • 故人为规定：“正零”（0000）为 0，“负零”（1000）为 -8。
      • 若规定 “负零”（1000）为 8，则 0~8 会有 9 个数，而 -1~-7 只有 7 个数，严重不对称，并且运算会发生错误。

思考题 3

  1. -128 没有原码表示（因为正值 128 超出了 8 位能表示的正数范围）
  2. -128 + 1 = 1000 0000 + 0000 0001 = 1000 0001（-127）
    • 这就是为什么 8 位补码的范围是 [-128, 127]
    • -128 是一个特殊值，它没有对应的原码

协议

　　本作品采用知识共享署名-非商业性使用-相同方式共享 4.0 国际许可协议进行许可。

封面图

设计师 | 南国微雪