小数与浮点数
本章为进阶内容，零基础读者可以跳过，不影响后续阅读。
复习
- 第三章：了解了二进制，以及怎样用位权展开一个数
TL;DR
- 小数点右边也遵循“逢二进一“，只是位权变成了 1/2、1/4、1/8……
- 小数点位置固定不动的叫定点数，简单但范围小
- 浮点数用“科学计数法“的思想：符号 + 阶码 + 尾数，范围大但精度有限
- 很多十进制小数（比如 0.1）在二进制里是无限循环的，只能近似存储
正文
二进制里的小数
前面我们表示的都是整数。小数点右边怎么办？
回忆一下位权：十进制里，0.1 表示 1/10，0.01 表示 1/100。二进制也一样，只是底数换成 2：
0.12 = 1/2 = 0.5100.012 = 1/4 = 0.25100.112 = 1/2 + 1/4 = 0.7510
所以二进制小数同样可以“按位权相加“来还原。
定点数
最简单的小数表示叫定点数：约定小数点固定在某个位置，小数点前后各占多少位是定死的。
- 比如约定“高 8 位是整数部分，低 8 位是小数部分“
它简单、快，但缺点明显：能表示的范围和精度都很有限。想要更大范围，就得多给整数位；想要更精细，就得多给小数位，而总位数是固定的，两边打架。
浮点数：用科学计数法
科学家记很大的数或很小的数时，会用科学计数法，比如：
1.23 × 10^5
它把“数值“拆成三部分：正负号、有效数字（1.23）、指数（5）。这样，同一个表示法既能记下 1.23 × 10^5，也能记 1.23 × 10^-5，范围一下子大了很多。
计算机借用了这个思路，做成浮点数：小数点不再固定，而是“浮动“的。
- 符号位：正还是负
- 阶码：相当于指数，决定小数点的位置
- 尾数：相当于有效数字，决定精度
现代计算机普遍遵循 IEEE 754 标准来分配这几位。具体位数分配属于细节，这里不展开，只要记住“符号 + 阶码 + 尾数“这个结构即可。
精度问题
浮点数换来大范围，代价是精度。
一个让人抓狂的例子：在大多数编程语言里，
0.1 + 0.2 == 0.3 // 结果是 false！
为什么会这样？因为 0.1 在二进制里是无限循环小数（就像十进制的 1/3 = 0.333… 永远写不完）。计算机只能用有限的位去近似它，两个近似值相加，结果就差了那么一点点，不等于精确的 0.3。
这不是计算机算错了，而是“用有限位表示无限小数“的必然结果。所以，涉及钱、精确数值时，程序员通常改用整数或专门的十进制类型，而不是浮点数。
思考题
十进制里，1/3 = 0.333… 写不完，所以只能近似。请类比说明：为什么 0.1 在二进制里也“写不完“？这和浮点数算不准有什么关系？
小结
知识点
- 二进制小数与位权
- 定点数及其局限
- 浮点数：符号 + 阶码 + 尾数
- IEEE 754
- 浮点数的精度问题
参考资料
- Wikipedia(zh)：浮点数：浮点数的基本概念
- Wikipedia(zh)：IEEE 754：浮点数标准
思考题答案（仅供参考）
十进制里分母含 3 的分数写不完，是因为 10 的因子是 2 和 5，除不尽。同理，二进制只认因子 2，而 0.110 = 1/10 的分母含着因子 5，用二进制除不尽，所以是无限循环小数。计算机只能用有限多位去截断、近似它，于是 0.1、0.2 都不是精确值，相加自然就凑不出精确的 0.3。根本原因：进制和分母“对不上“。
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设计师 | 南国微雪